走私文物的人应该承担的法律责任是：
1、行为人走私国家禁止出口的文物的，会构成走私文物罪，一般应处五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金；
2、情节特别严重的，处十年以上有期徒刑或者无期徒刑，并处没收财产；
3、情节较轻的，处五年以下有期徒刑，并处罚金。